Arquitectura de Computadores

Notas de estudo

Alberto José Proença

1998/99

Índice geral

Anexo A : Representação de inteiros

1. Binário puro

2. Base hexadecimal
3. Números negativos

1. Binário puro

NOTA:Ver secções 4.1 e 4.2 do livro

Os números podem ser representados em qualquer base. Normalmente usamos base 10 (por isso usamos 10 dígitos diferentes). Os computadores pelo facto de só conhecerem dois valores 0 e 1, são máquinas binárias, e por isso que trabalham em base 2 (binário).

Para compreender o que significa a base em que os números são representados é necessário entender o significado da ordem dos dígitos. A ordem de um dígito dentro de um número é dada pela posição que esse dígito ocupa no número, sendo que a ordem do dígito menos significativo é 0. A base utilizada determina o número de dígitos que podem ser utilizados. Base 10 utiliza 10 dígitos (0 a 9), base 2 utiliza 2 dígitos (0 e 1), base 16 utiliza 16 dígitos (0 a 9, e, A a F).

Exemplo

Número: 1532

Algarismo 2 - ordem 0
Algarismo 3 - ordem 1
Algarismo 5 - ordem 2
Algarismo 1 - ordem 3

O valor do número (escrito na base b) obtém-se multiplicando cada dígito pela base b elevada à ordem do dígito e somando todos estes valores.

Exemplo

Número: 1532₆ (base 6)

1 * 6³ + 5 * 6² +3 * 6¹ +2 * 6⁰ = 416₁₀

Número: 1532₁₀ (base 10)

1 * 10³ + 5 * 10² +3 * 10¹ +2 * 10⁰ = 1532₁₀

Número: 1532₁₃ (base 13)

1 * 13³ + 5 * 13² +3 * 13¹ +2 * 13⁰ = 3083₁₀

Podemos agora converter alguns números escritos em binário para base 10.

Exemplo

Número: 110110₂

1 * 2⁵ + 1 * 2⁴ + 0 * 2³ + 1 * 2² + 1 * 2¹ + 0 * 2⁰ = 54₁₀

Para converter de base decimal para base binária divide-se sucessivamente por 2 e tomam-se os restos e o último quociente.

Exemplo

Número: 235₁₀

235/2 = 117	Resto = 1	/* bit menos significativo */
117/2 = 58	Resto = 1
58/2 = 29	Resto = 0
29/2 = 14	Resto = 1
14/2 = 7	Resto = 0
7/2 = 3	Resto = 1
3/2 = 1	Resto = 1	/* bit mais significativo */

235₁₀ = 11101011₂

Para adicionar números em binário ver secção 4.3 do livro.

Os processadores utilizam um determinado número de bits para representar um número. A quantidade de bits utilizados determina a gama de valores que podem ser representados. Em binário puro podem-se escrever 2ⁿ números, sendo n o número de bits utilizados. O maior inteiro que pode ser representado depende, portanto, do tamanho da palavra em cada processador. Surge assim o problema de somar dois inteiros e obter um número maior do que aquele que a máquina pode representar. Esta situação é normalmente designada por overflow e deve ser tomada em consideração quer pelos programadores, quer pelos desenhadores de microprocessadores (ver pág. 176 do livro).

2. Base hexadecimal

A base hexadecimal (16) é frequentemente utilizada pelos programadores porque é bastante fácil converter de binário para hexadecimal (e vice-versa) e porque é bastante mais fácil ler um número em hexadecimal do que em binário.

São utilizados 16 dígitos: 0, 1, ..., 9, A, B, C, D, E, F.

Exemplo

Representar 4312₁₀ em hexadecimal.

4312 / 16 = 269	Resto = 8
269 / 16 = 16	Resto = 13 (Dígito D)
16 / 16 = 1	Resto = 0
1 / 16 = 0	Resto = 1

Logo 4312₁₀ = 10D8₁₆

Exemplo

Representar 2AF3₁₆ em decimal.

2 * 16³ + 10 * 16² + 15 * 16¹ + 3 * 16⁰ = 10995₁₀

Nota: A = 10, F = 15.

A motivação para usar hexadecimal é a facilidade com que se converte entre esta base e binário. Cada dígito hexadecimal representa um valor entre 0 e 15. Cada conjunto de 4 bits representa também um valor no mesmo intervalo. Então podemos converter aos grupos de 4 bits.

Exemplo 1

  2    A    F  (hexadecimal)

0010 1010 1111 (binário)

ou,

2AF₁₆ = 001010101111₂

Exemplo 2

1101 0101 1011 (binário)

  D    5    B  (hexadecimal)

ou,

110101011011₂ = D5B₁₆

3. Números negativos

NOTA: Ver secção 4.2 do livro

Os computadores lidam com números positivos e números negativos, logo é necessário encontrar uma representação para números com sinal negativo. Uma possibilidade é inverter todos os bits de um número para representar o número correspondente com sinal negativo. Esta representação é designada por complemento para um .

Exemplo

100₁₀ = 01100100₂ utilizando 8 bits

Invertendo todos os bits obtemos:

-100₁₀ = 10011011₂

O problema desta representação é que existem 2 padrões de bits para o 0. Nomeadamente 0₁₀ = 00000000₂ = 11111111₂. A solução encontrada consiste em representar os números em complemento para 2 . Para determinar o negativo de um número negam-se todos os seus bits e soma-se uma unidade.

Exemplo

100₁₀ = 01100100₂ utilizando 8 bits

Invertendo todos os bits obtemos:

10011011₂

Somando uma unidade : 10011011₂ + 1 = 10011100₂ = -100₁₀

A representação em complemento para 2 tem as seguintes características:

• O bit da esquerda indica o sinal;
• O processo indicado no parágrafo anterior serve para converter um número de positivo para negativo e de negativo para positivo;
• O 0 tem uma representação única: todos os bits a 0;
• A gama de valores que é possível representar com bits é -2 ^n-1 ... 2 ^n-1-1.

Exemplo

Qual o número representado por 11100100₂ ?

Como o bit da esquerda é 1 este número é negativo.
Vamos inverter:
00011011₂
Somando uma unidade :
00011011₂ + 1 = 00011100₂ = 28₁₀

Logo 11100100₂ = - 28₁₀

NOTA: Ver secção 4.2 do livro para detalhes sobre adição, subtracção e overflow.

Como é que podemos converter um número representado em complemento para 2 com n bits para um número representado com mais bits? Resposta: basta fazer a extensão do sinal! Se o número é positivo acrescenta-se 0's à esquerda, se o número é negativo acrescenta-se 1's à esquerda.

Exemplo

Representar os seguintes números com 16 bits.

0011101010
Positivo, logo:
0000000011101010

11011110
Negativo, logo:
1111111111011110

A multiplicação e a divisão têm algoritmos algo complexos que ultrapassam o âmbito destas notas de estudo. No entanto a divisão e multiplicação por potências de 2 realizam-se efectuando shifts à direita ou à esquerda, respectivamente.

Fazer o shift à esquerda uma vez de um número binário corresponde a multiplicar por 2, duas vezes corresponde a multiplicar por 4 e assim sucessivamente. O mesmo se aplica à divisão com o shift à direita.

Exemplo

Dividir 11001010₂ = 202₁₀ por 4.

É necessário fazer o shift à direita 2 vezes: 000110010₂ = 50₁₀

Multiplicar 000001010₂ = 10₁₀ por 8.

É necessário fazer o shift à esquerda 3 vezes: 001010000₂ = 80₁₀

Esta regra também se aplica aos números em complemento para 2 desde que se mantenha o sinal.